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Algèbre et proportionnalité
L’algèbre, c’est faire des maths avec un nombre inconnu. À l’école primaire, elle commence par un trou à compléter, 7 + … = 10, et au CM ce trou peut devenir un symbole ou une lettre : n + 3 = 10. Faire de l’algèbre, c’est aussi repérer la règle cachée dans un motif ou dans une suite de nombres. La proportionnalité, elle, décrit deux quantités qui changent ensemble, au même rythme : deux fois plus de crêpes demandent deux fois plus de farine.
Le domaine « Algèbre » n’apparaît dans les programmes qu’au CM1 : c’est un domaine nouveau du cycle 3, qu’on appelle aussi la « pensée algébrique ». Mais ses idées se travaillent bien avant, dès les motifs de grande section et les égalités à trou du CP. La proportionnalité a sa propre partie au CM1 et au CM2.
Ce que votre enfant apprend, classe par classe
Ce tableau suit les programmes en vigueur : celui du cycle 1 pour la grande section, celui du cycle 2 (CP, CE1, CE2), publiés en 2024, et celui du cycle 3, publié en 2025. Le domaine « Algèbre » s’applique au CM1 depuis la rentrée 2025 et au CM2 depuis la rentrée 2026.
| Classe | Ce qui est travaillé |
|---|---|
| Grande section | Les motifs organisés : des motifs qui se répètent et des motifs qui grandissent (comme ABAABBAAABBB). Les décrire, les reproduire, les continuer, en inventer. Réciter la comptine numérique de 2 en 2 jusqu’à 20. |
| CP | Les suites de motifs : « ABABAB… quelle est la dix-neuvième lettre ? ». Les égalités à trou en calcul mental (4 + … = 12). Le signe = seulement entre deux écritures égales. La soustraction comme opération inverse de l’addition : 32 + 15 = 47, donc 47 − 32 = 15. |
| CE1 | Pas de domaine « Algèbre » au programme, mais l’inconnue est partout : les additions à trou en calcul mental (objectif : 12 par minute en fin d’année) et les problèmes modélisés par un schéma en barre, où l’on cherche une partie ou le tout. |
| CE2 | Toujours pas de domaine « Algèbre », mais un outil de plus : la division comme opération inverse de la multiplication (7 × 13 = 91, donc 91 ÷ 7 = 13). Problèmes à une ou deux étapes avec un schéma en barre. Additions à trou : 15 par minute en fin d’année. |
| CM1 | Algèbre : des égalités à trou plus riches (178 − … = 6 × 8), un symbole ou une lettre pour un nombre inconnu, le programme de calcul, les suites de nombres et les motifs qui grandissent, le schéma en barre pour trouver une inconnue. Proportionnalité : reconnaître une situation de proportionnalité et la résoudre en raisonnant (un tee-shirt coûte 13 €, combien coûtent 6 tee-shirts ?). |
| CM2 | Algèbre : égalités à trou et problèmes avec des inconnues ; exécuter et écrire un programme de calcul ; trouver le nombre d’éléments à une étape donnée d’un motif qui grandit (par exemple un prix égal à (N × 12) + 5). Proportionnalité : la suite du CM1, toujours par le raisonnement, sans coefficient de proportionnalité ni produit en croix. |
Les grandes idées
1. Le signe = veut dire « est égal à »
Beaucoup d’enfants lisent = comme « et le résultat, c’est ». Ça marche pour 3 + 5 = 8, puis ça coince devant 8 = 3 + 5 ou 6 + … = 4 + 5. Le bon réflexe : penser à la balance de la classe, où les deux plateaux doivent rester en équilibre. 4 + 5 font 9, donc 6 + … doit aussi faire 9 : le nombre caché est 3.
C’est aussi pour cela que le programme du CP signale comme une erreur les calculs « en chaîne » comme 47 + 3 = 50 + 5 = 55 : chaque étape semble juste, mais cette écriture affirme que 47 + 3 est égal à 55. On écrit plutôt deux égalités : 47 + 3 = 50, puis 50 + 5 = 55.
2. Retrouver le nombre caché grâce à l’opération inverse
L’addition et la soustraction sont des opérations inverses : l’une défait ce que fait l’autre. Il en va de même pour la multiplication et la division. C’est la clé de la plupart des égalités à trou. Pour … − 9 = 7, on se demande « quel nombre, si j’enlève 9, donne 7 ? » et on rajoute les 9 : 7 + 9 = 16. Pour … × 4 = 32, on divise : 32 ÷ 4 = 8. Puis on vérifie en remettant le nombre trouvé à sa place : 16 − 9 = 7 et 8 × 4 = 32.
Au CM1, les égalités ont parfois un calcul de chaque côté : 178 − … = 6 × 8. On commence par ce qu’on sait calculer, 6 × 8 = 48, puis on cherche ce qu’il faut enlever à 178 pour qu’il reste 48. Le schéma en barre, que votre enfant utilise depuis le CE1 pour les problèmes, rend la question visible (voir aussi comment les maths sont enseignées) :
3. Motifs et suites : trouver la règle
En grande section, les enfants reproduisent, continuent et inventent des motifs organisés : des motifs qui se répètent (rouge, bleu, rouge, bleu…) et des motifs qui grandissent (un rond, un carré ; deux ronds, deux carrés ; trois ronds, trois carrés…). Au CP, on pose déjà une vraie question d’algèbre : dans ABABAB…, quelle est la dix-neuvième lettre ? Pas besoin d’écrire les dix-neuf lettres. Les A sont aux places impaires (1re, 3e, 5e…) ; 19 est impair, donc c’est un A.
Une suite de nombres obéit elle aussi à une règle. Les plus jeunes la prolongent ; au CM, on cherche la règle et on l’explique. Au CM2, on va plus loin : trouver directement le nombre d’une étape lointaine, sans écrire tous ceux d’avant. Dans 3, 7, 11, 15, 19…, chaque nombre vaut 4 fois son rang, moins 1 (le 1er vaut 4 × 1 − 1 = 3, le 2e vaut 4 × 2 − 1 = 7). Le 10e nombre est donc 4 × 10 − 1 = 39.
4. Un symbole ou une lettre pour un nombre inconnu
Au CM1, le trou peut devenir un symbole (□, ▲, ★) ou une lettre. « n + 5 = 12 » se lit « un nombre plus 5 est égal à 12 », donc n = 7. Si ▲ + ▲ + ▲ = 18, chaque triangle vaut 6, puisque 3 × 6 = 18. Deux règles à retenir : une lettre remplace un nombre, pas un objet ; et dans une même égalité, un même symbole cache toujours le même nombre.
Au CM2, les élèves formulent aussi des règles générales qu’ils ont trouvées eux-mêmes, sans formule à apprendre par cœur : le périmètre d’un carré, c’est quatre fois son côté (4 × 7 = 28 cm pour un carré de 7 cm de côté).
Lisez le signe = à voix haute en disant « est égal à » ou « c’est pareil que », et écrivez de temps en temps des égalités « à l’envers » (10 = 4 + …). Un enfant qui voit toujours le résultat à droite est perdu le jour où il change de place, et cette habitude est longue à défaire.
5. Le programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d’instructions à appliquer à un nombre : « Choisis un nombre. Multiplie-le par 3. Ajoute 5. » Au CM1, les élèves l’exécutent ; au CM2, ils apprennent aussi à en écrire un. On peut aussi l’utiliser à l’envers : pour retrouver le nombre de départ, on remonte avec les opérations inverses, dans l’ordre inverse.
Les programmes de calcul servent aussi dans la vie de tous les jours. Pour la kermesse, l’école commande des tee-shirts à 12 € pièce, avec 5 € de frais de livraison. Le prix total est (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts. Pour 8 tee-shirts : (8 × 12) + 5 = 96 + 5 = 101 €. Les parenthèses indiquent ce qu’on calcule en premier.
6. La proportionnalité : raisonner avant de calculer
Si un tee-shirt coûte 13 €, combien coûtent 6 tee-shirts ? Six fois plus : 6 × 13 = 78 €. C’est le type de problème que cite le programme du CM1. Deux grandeurs sont proportionnelles quand, si l’on multiplie l’une par un nombre (2, 3, 10…), l’autre est multipliée par le même nombre. Au CM, les élèves résolvent ces problèmes en raisonnant, avec des procédures qu’ils comprennent :
- Multiplier : 2 fois plus de tee-shirts, c’est 2 fois plus cher.
- Additionner : le prix de 6 tee-shirts, c’est le prix de 2 tee-shirts plus le prix de 4.
- Passer par l’unité : si 3 cahiers coûtent 4,50 €, un cahier coûte 1,50 €, donc 5 cahiers coûtent 7,50 €.
Le coefficient de proportionnalité et le « produit en croix » ne sont pas au programme du CM : ils viendront plus tard, au collège. Une recette montre bien ces raisonnements. Voici des crêpes pour 4 personnes, à préparer pour 6 à la Chandeleur. Passer par 2 personnes (on divise par 2, puis on multiplie par 3) permet de garder des calculs simples :
| Ingrédient | Pour 4 personnes | Pour 2 personnes (÷ 2) | Pour 6 personnes (× 3) |
|---|---|---|---|
| Farine | 250 g | 125 g | 375 g |
| Œufs | 4 | 2 | 6 |
| Lait | 50 cL | 25 cL | 75 cL |
| Beurre fondu | 50 g | 25 g | 75 g |
Il faut aussi savoir reconnaître ce qui n’est pas proportionnel. Léa mesure 1,30 m à 8 ans : mesurera-t-elle 2,60 m à 16 ans ? Bien sûr que non. Ce genre de question amuse les enfants, et leur apprend à se demander « est-ce que ça marche vraiment comme ça ? » avant de calculer.
Les erreurs fréquentes
- Lire = comme « le résultat est » : pour 4 + 5 = … + 2, écrire 9 dans le trou au lieu de 7.
- Se tromper d’opération inverse : pour … − 9 = 7, calculer 9 − 7 = 2 au lieu de 7 + 9 = 16.
- Écrire des calculs en chaîne : 47 + 3 = 50 + 5 = 55, une écriture fausse même si le résultat final est juste.
- Croire qu’une lettre désigne un objet (« c comme crêpe ») plutôt qu’un nombre.
- Deviner la règle d’une suite à partir de deux nombres : après 2, 4, le suivant peut être 6 (on ajoute 2) ou 8 (on double). Il faut vérifier la règle sur toute la suite.
- Ajouter au lieu de multiplier : pour passer de 4 à 6 personnes, ajouter 2 à chaque quantité et mettre 252 g de farine au lieu de 375 g.
Des jeux de cinq minutes à la maison
- Sous le gobelet. Posez 10 jetons (ou des raisins secs) sur la table, cachez-en quelques-uns sous un gobelet, et demandez combien sont cachés. « J’en vois 6, donc il y en a 4 sous le gobelet. » C’est l’égalité 6 + … = 10, en vrai.
- Je pense à un nombre. « Je pense à un nombre, j’ajoute 5 et je trouve 12. Quel était mon nombre ? » Puis échangez les rôles : c’est votre enfant qui invente la devinette.
- Devine ma règle. Votre enfant dit un nombre ; en secret, vous le doublez et ajoutez 1, et vous annoncez le résultat : 3 donne 7, 5 donne 11, 10 donne 21. Qui trouve la règle en premier ?
- Les colliers de pâtes. Enfilez des pâtes ou des perles selon un motif qui se répète, puis un motif qui grandit (1 rouge, 2 bleues, 3 rouges…). Quelle couleur vient ensuite ? Combien de perles faudra-t-il pour le prochain groupe ?
- Le sirop et les crêpes. Si l’étiquette dit « 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau », combien de sirop dans une carafe de 80 cL ? Cela fait 8 volumes en tout, donc 10 cL de sirop et 70 cL d’eau. Et le jour des crêpes, doublez la recette ou divisez-la par deux ensemble.
Le défi d’IndieIndie construit une rangée d’alvéoles avec des bâtonnets. Deux alvéoles voisines partagent un côté. Pour 1 alvéole, il faut 6 bâtonnets ; pour 2 alvéoles, 11 ; pour 3 alvéoles, 16. Combien de bâtonnets faut-il pour une rangée de 10 alvéoles ? Voir la réponse
La première alvéole demande 6 bâtonnets. Chaque nouvelle alvéole partage un côté avec la précédente : il lui faut 5 bâtonnets de plus. Pour 10 alvéoles : 6 + 9 × 5 = 6 + 45 = 51 bâtonnets. Sous forme de programme de calcul : nombre de bâtonnets = (N × 5) + 1, et (10 × 5) + 1 = 51.
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À imprimer pour s’entraîner à la maison ou en classe. Chaque fiche a son corrigé en deuxième page.
Égalités à trousCE2, CM1, CM2 · Trouver le nombre qui manqueTélécharger le PDFQuestions fréquentes
Le domaine « Algèbre » apparaît au CM1 (9 à 10 ans). Mais la pensée algébrique se prépare dès la grande section avec les motifs, et dès le CP avec les égalités à trou comme 4 + … = 12.
Une égalité où il manque un nombre : 4 + … = 12, … × 5 = 35 ou 178 − … = 6 × 8. Le trou peut prendre la forme de points de suspension, d’une case vide, d’un symbole ou, au CM, d’une lettre.
Une suite d’instructions à appliquer à un nombre de départ, par exemple « multiplie par 2, puis ajoute 1 ». Avec 5, on obtient 11. Au CM1, les élèves exécutent des programmes de calcul ; au CM2, ils apprennent aussi à en écrire.
Parce qu’il n’est pas au programme de l’école primaire. Au CM, la proportionnalité se résout en raisonnant : deux fois plus, la moitié, le prix d’un seul objet… Raisonner ainsi oblige à comprendre la situation, et aide à repérer celles qui ne sont pas proportionnelles. Le produit en croix viendra au collège.
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