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Pour les enseignants
Résolution de problèmes et raisonnement
Dans les programmes en vigueur, la résolution de problèmes est au cœur des maths. Au cycle 2, elle forme avec les nombres et le calcul le domaine qui occupe au moins les deux tiers du temps de maths. Du CP au CM2, les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, dont une partie peut être de petits problèmes oraux à l’énoncé bref, la réponse étant notée sur l’ardoise. Et dans les deux cycles, la résolution de problèmes fait l’objet d’un enseignement explicite, appuyé sur un modèle en quatre phases.
Résoudre un problème, c’est mobiliser ce que l’on sait dans une situation nouvelle. Raisonner, c’est expliquer et justifier, répondre à la question « Comment le sais-tu ? ». Les deux vont ensemble. Le raisonnement, lui, n’a pas besoin d’une séance à part : il se construit chaque jour, à travers les questions que l’on pose et les explications que l’on attend des élèves. Les idées ci-dessous s’adaptent à tous les thèmes et à toutes les classes.
Quatre phases : comprendre, modéliser, calculer, répondre
Prenons un problème de CE1 : « Inès a 23 images. Elle en a 8 de plus que Yanis. Combien Yanis a-t-il d’images ? »
- Comprendre. L’élève reformule l’histoire avec ses propres mots : « Inès a plus d’images que Yanis. On cherche combien Yanis en a : il en a donc moins qu’elle. » Le programme le souligne : un énoncé peut contenir le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. C’est exactement le cas ici.
- Modéliser. On identifie l’opération à effectuer, en s’appuyant sur une manipulation ou un dessin. Deux barres, l’une sous l’autre : celle d’Inès dépasse celle de Yanis de 8. On cherche la plus courte : 23 − 8.
- Calculer. Avec les outils du moment : matériel multibase, schéma, calcul mental ou opération posée. 23 − 8 = 15.
- Répondre. On quitte les maths pour revenir à l’histoire, avec une phrase réponse : « Yanis a 15 images. »
- Régulation. Est-ce possible ? Yanis devait en avoir moins qu’Inès : 15 est bien inférieur à 23. Et 15 + 8 = 23, le compte est bon.
Le programme présente aussi ce modèle comme un outil de diagnostic pour l’enseignant : quand un élève échoue, cherchez à quelle phase il bloque. Celui qui calcule juste mais répond à côté n’a pas besoin de la même aide que celui qui n’a pas compris l’histoire.
Évitez les listes de « mots-clés » (« de plus » = addition, « de moins » = soustraction) : elles marchent sur les énoncés les plus directs, mais induisent les élèves en erreur dès que l’histoire se complique. Essayez plutôt de lire l’énoncé une première fois en cachant les nombres, puis demandez : « Que raconte l’histoire ? Que cherche-t-on ? Est-ce que ce sera plus ou moins que… ? » Les nombres n’arrivent qu’ensuite.
Les types de problèmes du programme
Les programmes nomment les grandes familles de problèmes, pour que les élèves les rencontrent toutes et apprennent à les reconnaître. Dès la grande section, on travaille, avec des objets ou un dessin, des problèmes parties-tout, de comparaison, de groupement et de partage équitable. Au CP, les élèves résolvent des problèmes parties-tout en une étape (l’ajout et le retrait y sont traités comme des parties-tout), ainsi que des problèmes additifs en deux étapes et des problèmes multiplicatifs simples, avec des nombres jusqu’à 30 pour ces deux derniers. Le CE1 ajoute le schéma en barre, les problèmes de comparaison modélisés par deux barres et les problèmes mixtes en deux étapes ; le CE2, la comparaison multiplicative (« fois plus », « fois moins », à ne pas confondre avec « de plus », « de moins »), les problèmes en trois étapes et les premiers dénombrements, avec un tableau ou un arbre. Au CM1 et au CM2, les nombres grandissent et les problèmes de dénombrement et d’optimisation sont nommés comme tels.
| Type | Exemple | Modèle et réponse |
|---|---|---|
| Parties-tout | Dans la classe, il y a 24 élèves, dont 13 filles. Combien y a-t-il de garçons ? | On connaît le tout et une partie : 24 − 13 = 11 garçons. |
| Comparaison | Léo a 45 billes. Chloé en a 17 de moins que lui. Combien Chloé a-t-elle de billes ? | Deux barres : 45 − 17 = 28 billes. |
| Partage équitable | On partage 32 crêpes entre 4 enfants. Combien chacun en reçoit-il ? | 4 parts égales : 8 crêpes chacun, car 4 × 8 = 32. |
| Groupement | On range 30 œufs dans des boîtes de 6. Combien de boîtes faut-il ? | 5 boîtes, car 5 × 6 = 30. |
| Parties-tout multiplicatif | Mia achète 6 paquets de 8 feutres. Combien de feutres a-t-elle ? | 6 parties égales de 8 : 6 × 8 = 48 feutres. |
| Comparaison multiplicative | Le ruban bleu mesure 15 cm. Le rouge est 3 fois plus long. Combien mesure le rouge ? | 3 × 15 = 45 cm. |
| Plusieurs étapes | À la boulangerie, Emma achète 3 croissants à 1,20 € et une baguette à 1,10 €. Elle paie avec un billet de 10 €. Combien lui rend-on ? | 3 × 1,20 € = 3,60 € ; 3,60 € + 1,10 € = 4,70 € ; 10 € − 4,70 € = 5,30 €. |
| Dénombrement | À la cantine, on choisit une entrée parmi 2, un plat parmi 3 et un dessert parmi 2. Combien de menus différents peut-on composer ? | Un arbre : 2 × 3 × 2 = 12 menus. |
| Optimisation | Romy doit payer 38,70 € avec le moins possible de billets et de pièces. Lesquels ? | 20 €, 10 €, 5 €, 2 €, 1 €, 50 centimes et 20 centimes : 7 en tout. |
Le schéma en barre
Depuis les nouveaux programmes, le schéma en barre est un outil officiel de modélisation, dès le CE1. On dessine le problème avec des rectangles avant de choisir une opération : on voit ce que l’on sait et ce que l’on cherche. Pour un problème parties-tout, une barre pour le tout, découpée en parties ; pour une comparaison, un schéma avec deux barres, l’une sous l’autre ; pour un problème de transformation (on ajoute, on retire), un déplacement sur un axe. Le même dessin sert ensuite aux problèmes multiplicatifs.
Le schéma en barre marche aussi avec les fractions. Au CM2, pour aller plus loin : « Hugo a dépensé les deux cinquièmes de son argent de poche. Il lui reste 18 €. Combien avait-il au départ ? » On dessine une barre en 5 parts égales et on en colorie 2 pour la dépense.
Des questions qui font raisonner
Affichez-en quelques-unes au tableau ou gardez-les sur une fiche, et reposez-les jusqu’à ce qu’elles deviennent une habitude de la classe :
- Qu’est-ce que tu remarques ? Quelle question te poses-tu ?
- Qu’est-ce qui est pareil ? Qu’est-ce qui est différent ?
- Comment le sais-tu ? Peux-tu le prouver ?
- Y a-t-il une autre façon de faire ? Laquelle est la plus rapide ?
- Que se passerait-il si… ?
- Donne-moi un exemple. Et maintenant, un exemple auquel personne d’autre ne pensera.
- Est-ce toujours vrai, parfois vrai ou jamais vrai ?
- Où cet élève s’est-il trompé ?
Le « convaincs-moi » marche aussi très bien : on donne un fait que les élèves connaissent déjà, et ils doivent vous en convaincre, sans se contenter d’un « parce que je le sais ». Au CE1 : « Convaincs-moi que 7 + 8 = 15 » (le double de 7, c’est 14, et 8, c’est un de plus que 7). Au CE2 : « que 6 × 7 = 42 » (5 × 7 = 35, et encore 7, ça fait 42). Au CM1 : « que ⅗ est plus grand que ½ » (⅗, c’est ⁶⁄₁₀, et ½, c’est ⁵⁄₁₀). Un dessin, des cubes ou une droite graduée sont des preuves tout à fait valables.
Vrai ou faux ?
Une affirmation au tableau : les élèves tranchent sur l’ardoise, puis justifient. Mélangez le vrai et le faux, pour qu’ils ne devinent pas la réponse attendue.
| Classe | Affirmation | Réponse |
|---|---|---|
| GS | Si j’écarte mes 5 cubes, j’en ai plus. | Faux. Il y en a toujours 5 ; ils prennent seulement plus de place. |
| CP | 15 − 6, c’est pareil que 6 − 15. | Faux. 15 − 6 = 9, mais on ne peut pas enlever 15 à 6 : dans une soustraction, l’ordre compte. |
| CE1 | Quand on ajoute 10 à un nombre, le chiffre des unités ne change pas. | Vrai. 46 + 10 = 56 : on ajoute une dizaine, les unités restent les mêmes. |
| CE2 | Tous les multiples de 6 sont aussi des multiples de 3. | Vrai. 6 = 2 × 3, donc 6, 12, 18… sont tous dans la table de 3. |
| CM1 | 0,65 est plus grand que 0,7, car il a plus de chiffres. | Faux. 0,7, c’est 7 dixièmes ; 0,65, c’est 6 dixièmes et 5 centièmes. |
| CM2 | Quand on multiplie un nombre, le résultat est toujours plus grand. | Faux. 5 × 1 = 5, 5 × 0 = 0 et 8 × ½ = 4. |
Trouve l’erreur
Montrez une production qui contient une erreur et demandez aux élèves de la trouver, de l’expliquer et de la corriger. C’est moins intimidant que de corriger son propre travail, et cela cible précisément les erreurs que vous voyez venir.
- CE1 : 52 − 27 = 35. Aux unités, l’élève a calculé 7 − 2 au lieu de 2 − 7. Avec la technique de l’école, par cassage ou par compensation, on calcule 12 − 7 = 5 unités, et il reste 2 dizaines : 52 − 27 = 25.
- CE2 : ¼ + ¼ = ²⁄₈. Un quart plus un quart, ça fait deux quarts : ²⁄₄, c’est-à-dire ½. On n’additionne pas les dénominateurs.
- CM1 : 0,4 × 3 = 0,12. 4 dixièmes × 3 = 12 dixièmes, c’est-à-dire 1,2.
- CM1 et CM2 : « 47 élèves partent en classe verte dans des minibus de 9 places. 47 = (9 × 5) + 2, donc il faut 5 minibus. » La division est juste, la réponse non : les 2 élèves qui restent ont besoin d’un sixième minibus, il en faut donc 6. C’est la régulation qui fait la différence.
Attribuez l’erreur à quelqu’un d’autre : « Un élève d’une autre classe a écrit ça. » Les enfants critiquent volontiers le travail d’un inconnu, et ceux qui auraient fait la même erreur en tirent la leçon sans se sentir pris en faute.
Des problèmes ouverts
Un problème qui a plusieurs réponses, ou une seule réponse mais plusieurs chemins, permet à chacun de se lancer et donne aux plus à l’aise de quoi aller plus loin.
- Toutes les classes : La réponse est 12. Quelle peut être la question ? (En GS, on dira peut-être 10 et 2 ; au CM2, les trois quarts de 16 ou 1,2 × 10.)
- CP : Avec deux dés, de combien de façons peut-on obtenir 6 ? 1 + 5, 2 + 4 et 3 + 3 : 3 façons, ou 5 si 5 + 1 et 4 + 2 comptent à part. Le débat sur la bonne réponse, c’est justement du raisonnement.
- CE1 : J’ai payé exactement 21 centimes, seulement avec des pièces de 2 et de 5 centimes. Lesquelles ? Une pièce de 5 et huit pièces de 2, ou trois pièces de 5 et trois pièces de 2. Il faut un nombre impair de pièces de 5 centimes, car 21 est impair et les pièces de 2 donnent toujours un nombre pair.
- CM2 : Un rectangle a un périmètre de 20 cm, et ses côtés mesurent un nombre entier de centimètres. Quelle peut être son aire ? La longueur et la largeur font 10 cm à elles deux, donc l’aire peut valoir 9, 16, 21, 24 ou 25 cm². Le carré de 5 cm de côté donne la plus grande : un vrai problème d’optimisation.
Des amorces de phrases pour expliquer
Beaucoup d’élèves connaissent la réponse sans savoir dire pourquoi. Les amorces de phrases leur donnent les mots. Utilisez-les vous-même, affichez-les, et attendez des réponses en phrases complètes :
- Je sais que…, donc…
- D’abord j’ai…, ensuite j’ai…, donc la réponse est…
- Ça ne peut pas être…, parce que…
- Je suis d’accord (ou pas d’accord) avec…, parce que…
- C’est toujours / parfois / jamais vrai, parce que…
- Ma réponse est vraisemblable, car elle est proche de mon estimation de…
Associez-les au travail en binôme : chaque élève dit sa phrase à son voisin avant que quelqu’un ne réponde devant toute la classe.
Questions rapides
Raisonner, c’est expliquer et justifier : pourquoi une affirmation est vraie, pourquoi une méthode fonctionne. Résoudre un problème, c’est appliquer ses connaissances à une situation nouvelle. Les deux se recoupent : bien résoudre un problème demande presque toujours de raisonner en chemin.
Non. Le programme rappelle qu’un énoncé peut contenir « plus » alors qu’il faut soustraire. Faites plutôt reformuler l’histoire, dessiner un schéma en barre et se demander si la réponse sera plus grande ou plus petite que les nombres de l’énoncé.
Non. Tous les élèves peuvent raisonner sur des notions qu’ils maîtrisent. Prenez des nombres plus petits ou du matériel à manipuler, pour que le calcul ne gêne pas la réflexion.
Oui. Les épreuves de maths de septembre, du CP au CM2, comportent des problèmes, à côté de la numération et du calcul. Elles donnent un état des lieux pour organiser l’année, sans note ni révision. Notre page sur les évaluations les présente en détail.
Laissez un temps de réflexion, puis un échange en binôme avant la mise en commun, et proposez des amorces de phrases. Expliquer à une seule personne est bien moins impressionnant qu’expliquer à vingt-cinq.
Les textes officiels : le programme du cycle 2 (BO n° 41 du 31 octobre 2024) et le programme de mathématiques du cycle 3 (BO n° 16 du 17 avril 2025).
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