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Pour les enseignants

Différencier en maths

Différencier, c’est faire en sorte que chaque élève apprenne vraiment pendant la séance : ceux qui peinent reçoivent l’aide dont ils ont besoin, ceux pour qui tout va vite sont poussés plus loin. Longtemps, en maths, cela a voulu dire une fiche par groupe de niveau. Aujourd’hui, on cherche plutôt à faire avancer toute la classe sur la même notion, en prévoyant l’aide et le défi dans la même séance, et les nouveaux programmes vont dans ce sens.

Ce guide montre comment s’y prendre, du CP au CM2, avec des idées utilisables dès demain.

Garder toute la classe ensemble

Le programme du cycle 2 demande d’aborder dès le début de l’année les notions de la classe, « sans proposer de séquences qui seraient uniquement consacrées à la révision de notions relevant des années précédentes ». Les révisions se font « au fur et à mesure des séquences, et uniquement avec les élèves qui en ont besoin ». Le but : laisser à tous, et d’abord aux plus fragiles, le temps d’acquérir les notions centrales (c’est pourquoi la centaine est abordée dès la première période du CE1). Pour la différenciation, cela veut dire adapter le chemin, pas l’objectif.

En pratique :

• Une tâche commune, par exemple l’addition de deux nombres à deux chiffres, avec plus ou moins d’aide selon les élèves.
• De petits pas. Vérifiez chaque étape sur l’ardoise : tout le monde écrit, tout le monde montre (le procédé La Martinière), et vous voyez d’un coup d’œil qui suit.
• Des évaluations « courtes mais fréquentes », comme le demande le programme. Trois questions en fin de séance suffisent souvent pour savoir qui reprendre le lendemain.
• Une reprise rapide en petit groupe. Quelques minutes avec ceux qui ont décroché, le jour même ou en APC, pour qu’ils repartent avec les autres.
• Plus loin, pas plus vite. Ceux qui ont fini reçoivent des questions plus riches sur la même notion, pas le travail de la semaine prochaine.

Manipuler, représenter, verbaliser… puis se passer du matériel

Les programmes décrivent un passage progressif du concret à l’abstrait : manipuler des objets, les représenter par un schéma, puis passer au langage mathématique, en verbalisant à chaque étape. Le matériel utile est déjà dans la plupart des classes :

• bûchettes, cubes emboîtables et matériel multibase pour les dizaines et les unités, la retenue et le cassage d’une dizaine ;
• bande numérique et demi-droite graduée pour avancer, reculer et situer les nombres ;
• jetons et quadrillages pour les dispositions en lignes et en colonnes, les tables et les partages ;
• bandes de papier pour les fractions, et monnaie fictive pour les problèmes de prix.

Le programme insiste sur deux points. La manipulation est un étayage, mais « l’objectif final est de s’en abstraire » : pour un problème donné, certains élèves n’en ont pas besoin, et « il convient de ne pas la leur imposer », alors qu’un problème plus complexe peut les y ramener. Et réussir une manipulation ne prouve pas qu’on a compris : c’est la verbalisation qui fait le lien. Au CE2 puis au cours moyen, seuls ceux qui en ont besoin manipulent encore, mais tous peuvent s’appuyer sur des schémas.

Le matériel n’est pas réservé aux élèves en difficulté. Demandez à un élève à l’aise de montrer 52 − 38 avec le matériel multibase. Il doit casser une des 5 dizaines pour avoir 12 unités, puis enlever 3 dizaines et 8 unités ; il reste 1 dizaine et 4 unités, soit 14. L’exercice révèle parfois qu’il connaît les étapes de la soustraction posée sans savoir pourquoi elles marchent.

Des tâches à plancher bas et plafond haut

Une tâche à plancher bas et plafond haut est à la portée de tous au départ, mais elle peut mener très loin : toute la classe cherche le même problème, et chacun va aussi loin qu’il le peut.

• CP : « Trouve deux nombres qui font 10 quand on les ajoute. » Chacun en trouve au moins un couple. Peux-tu les trouver tous ? Comment être sûr qu’il n’en manque aucun ? Et avec trois nombres ? Au passage, toute la classe travaille ses compléments à 10.
• CE1-CE2 : « Trouve deux nombres dont la somme est 20 et la différence 4. » (Au CE1, on dira plutôt : « Ensemble, ils font 20, et l’un a 4 de plus que l’autre. ») On peut procéder par essais (12 et 8). Et avec une somme de 30 et une différence de 6 ? (18 et 12.) Existe-t-il une méthode qui marche toujours ? Le schéma avec deux barres la fait apparaître : on enlève la différence de la somme, puis on prend la moitié du reste pour trouver le petit nombre.
• CM1-CM2 : « Quels nombres de 1 à 20 peut-on écrire comme la somme d’au moins deux nombres entiers qui se suivent ? » Par exemple, 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4 (on laisse le 0 de côté). Tout le monde en trouve quelques-uns. Ceux qui vont loin remarquent que 1, 2, 4, 8 et 16 sont impossibles à obtenir, et que chacun est le double du précédent.

Des étayages qui s’effacent

Un étayage est une aide provisoire qui permet à un élève de réussir ce qu’il ne sait pas encore faire seul. Il est fait pour être retiré. En maths, les plus utiles sont :

• un exemple résolu au tableau, à côté des exercices, avec chaque étape nommée ;
• un schéma en barre déjà tracé pour le premier problème, à compléter ;
• une bande numérique, un tableau de numération ou une table de Pythagore pour vérifier les faits numériques pendant qu’on travaille une technique ;
• des débuts de phrase pour expliquer : « Je sais que…, donc… » ;
• en calcul mental, l’ardoise pour noter un résultat intermédiaire, un appui que le programme prévoit d’alléger peu à peu ;
• moins d’exercices, choisis avec soin, plutôt que la première moitié de la fiche.

Décidez à l’avance quand chaque aide disparaîtra (après trois exercices, après une vérification sur l’ardoise, à la séance suivante) ; sinon, elle devient vite une béquille.

Des cartes défi pour approfondir

Une carte défi creuse la même notion au lieu de passer à la suivante. Quelques consignes générales, à piocher selon la séance :

• Donne un exemple, puis un exemple auquel personne d’autre ne pensera.
• Invente un problème dont la réponse est 36. Puis invente-en un plus difficile.
• Est-ce toujours vrai, parfois vrai ou jamais vrai ? Prouve-le.
• Trouve toutes les possibilités. Comment sais-tu qu’il n’en manque aucune ?
• Explique l’erreur dans cette réponse.

Par exemple, pour une séance sur l’addition au CE1 : « Avec les chiffres 2, 3, 4 et 5, utilisés une fois chacun, forme deux nombres à deux chiffres. Quelle est la plus grande somme possible ? Et la plus petite ? » La plus grande est 95 (par exemple 53 + 42), car le 5 et le 4 doivent être aux dizaines. La plus petite est 59 (par exemple 24 + 35), avec le 2 et le 3 aux dizaines. Remarquer que les mêmes chiffres des dizaines donnent toujours la même somme, c’est raisonner sur la numération, pas seulement calculer.

Les classes à double niveau

Dans une classe à double niveau, la différenciation fait partie du quotidien. Quelques pistes :

• Un même énoncé, deux jeux de nombres. La mise en commun réunit toute la classe : on compare les schémas et les démarches, pas seulement les résultats.
• Les recoupements entre programmes. En CE2-CM1, les CE2 travaillent sur les nombres jusqu’à 10 000, et le CM1 s’en tient aux nombres d’au plus quatre chiffres pendant les deux premières périodes : un même rituel de numération sert aux deux niveaux en début d’année.
• Des temps qui alternent. Pendant une phase de découverte avec un niveau, l’autre s’entraîne en autonomie : fiches avec corrigé, jeux, grilles.
• Un rituel commun, des objectifs différents. En CE1-CE2, le même test de fluence sur les tables déjà travaillées se fait ensemble, chacun visant l’objectif de sa classe (8 résultats à la minute en fin de CE1, 12 en fin de CE2) et cherchant d’abord à battre son propre record.

Des énigmes pour ceux qui ont fini

Le travail des élèves qui ont fini doit en valoir la peine, pas être « encore la même chose ». Les énigmes font travailler les faits numériques tout en faisant réfléchir.

• Les grilles en alvéoles. Dans une grille Beequation, un nombre est la somme (ou le produit) de deux autres, et l’élève doit le trouver. Le pack de casse-têtes gratuit propose des additions jusqu’à 20 et des tables de multiplication, avec les corrigés : les élèves peuvent vérifier seuls leur travail.
• Fabriquer sa propre grille. Construire pour un camarade une grille où un seul nombre s’obtient à partir de deux autres, en vérifiant qu’aucun autre couple ne marche : un vrai travail méthodique.
• Le jeu dans le navigateur. Sur un ordinateur ou une tablette de la classe, Beequation dans le navigateur ne demande aucune inscription et propose une nouvelle grille à chaque partie.

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